Tittel: On formal DG-algebras
Veileder: Gereon Quick
Sammendrag: En differensialgradert algebra (DG-algebra) kan ofte sees på som en samling av høyt detaljert topologisk informasjon. To slike tilfeller er algebraen av kokjeder, og kohomologiringen til et topologisk rom. Den sistnevnte er ofte lett å regne ut, men den førstnevnte innholder generelt mye mer informasjon om rommet vi er interessert i. I denne avhandlingen utforsker vi forholdet mellom disse to algebraene—mer presist noen situasjoner hvor disse to innholder den samme homotopiske informasjonen. Slike algebraer kalles formelle DG-algebraer.
For å forstå hvilken type homotopisk informasjon en DG-algebra kan inneholde, konstruerer vi hindringer for formalitet gjennom høyere ordens kohomologioperasjoner—kalt Massey produkter. Vi generaliserer så DG-algebraer til $A_\infty$-algebraer, og ser på noen måter å bruke denne generaliserte teorien som et felles rammeverk for både DG-algebraer og Massey produkter. Dette rammeverket tillater oss å vise at en viss klasse av topologiske rom—nemlig de med Lusternik-Schnirelmann kategori 1—har formelle kokjede algebraer.