Tittel: Differentiable structures on spheres and the Kervaire invariant
Veileder: Gereon Quick
Sammendrag: Først introduseres noen klassiske konstruksjoner og teoremer fra algebraisk topologi. De fleste resultatene formuleres uten bevis. Enkelte homotopi grupper av de spesielle ortogonale gruppene, $SO_n$, beregnes i full detalj. Deretter defineres som i [KM63] gruppen $\Theta_n$ bestående av $h$-kobordisme klasser av homotopi $n$-sfærer. For $n \neq 4$ kan $\Theta_n$ identifiseres med gruppen av glatte strukturer på $S^n$. En viktig undergruppe $bP^{n+1} \subset \Theta_n$ defineres. Kirurgi teori utvikles og anvendes med stort hell til å studere $bP^{n+1}$. Pontryagins konstruksjon induserer en monomorfi $p\colon \Theta_n / bP^{n+1} \longrightarrow \pi n(\mathbb{S})/Im(J)$. Med kirurgi teori vises det at $p$ også er en epimorfi med mindre $n \equiv 2 \mod 4$. Kervaire invarianten defineres, og det vises at for $n \equiv 2 \mod 4$ har $p$ en kokjerne $\mathbb{Z}/2$ hvis det eksisterer en lukket $n$ dimensjonal mangfoldighet med Kervaire invariant en, i motsatt fall vises det at $p$ er en epimorfi. Dette er Kervaire invariant en problemet: Finnes det en lukket, glatt mangfoldighet med Kervaire invariant en? Vi formulerer Hill, Hopkins og Ravenels teorem [HHR16] som løser Kervaire invariant en problemet for alle $n \neq 126$. Kervaires løsning for $n = 10$ fra [Ker60] gis i full detalj. Til slutt konstrueres for hver $n \equiv 2 \mod 4$ en $n$-dimensjonal mangfoldighet $K_n$ begrenset av en homotopi sfære $\partial K_n = \Sigma$ og med Kervaire invariant en. Hvis det finnes en lukket $n$-dimensjonal mangfoldighet med Kervaire invariant vises det at $\Sigma = S^{n−1}$. I motsatt fall bærer $\Sigma$ en eksotisk glatt struktur. Ved å lime en $n$-dimensjonal ball på $\Sigma = \partial K_n$ oppnås en stykkevis lineær mangfoldighet $M_0$ som ikke kan være homeomorf med noen glatt mangfoldighet: En slik mangfoldighet ville hatt Kervaire invariant en.