Tittel: Til evigheten, og forbi: En kort historie om uendelighet fortalt i ZF
Veileder: Sverre Smalø
Sammendrag: Tittelen til denne bacheloroppgaven er nok litt misvisende, for selv om teksten tar for seg ZF, tall, ordinaler og universet, så gjør den det uten noen gang å faktisk definere uendelighet slik vi ofte tenker på det:
Uendelig stort – uendelig smått,
Uendelig lenge – uendelig kort.
Vi skal derimot ta for oss spørsmål som likner litt mer på det følgende: Hva vil det si å telle «forbi» alle naturlige tall?
Det matematiske fagfeltet som per i dag er best egnet til å besvare slike spørsmål, er mengdelære. For å unngå å snuble inn i paradoksene som kommer med en naiv innfallsvinkel, skal vi bygge opp teorien vår aksiomatisk. Den mest anerkjente moderne aksiomatiseringen av mengdelære er systemet ZF(C), og det er her vi skal arbeide.
Kapittel 1 starter med en kort innføring i det formelle systemet ZF. Deretter repeterer vi en del kjente begreper fra naiv mengdelære, men sett fra perspektivet til ZF. Til slutt snakker vi litt om klasser. I kapittel 2 konstruerer vi de naturlige tallene innad i ZF. Vi skal se at dette er ganske mye mer arbeidskrevende enn man kanskje skulle tro, men reisen er verdt det: mange av ideene vi skal bruke senere har sitt utspring nettopp her. Et intermezzo diskuterer ganske uformelt konstruksjonen av heltallene, de rasjonale tallene, og de reelle tallene. Kapittel 3 handler primært om ordinaler. Ordinalene er en spesiell klasse av velordnede mengder som i en viss forstand utvider de naturlige tallene ut i det transendelige. Til slutt tar kapittel 4 for seg universet: uformelt, «mengden» av alle mengder. Vi vil få bruk for alt vi har lært, og ordinalene vil være en av de viktigste ingrediensene.