Tittel: The K-theory and Morita equivalence classes of noncommutative tori
Veileder: Frans Leuf
Sammendrag: Når man studerer tidsfrekvensanalyse, møter man unitære translasjons- og modulasjonsoperatorer. Disse legger grunnlaget for en operatoralgebraisk tilnærming til emnet, og de studeres ofte gjennom ikke-kommutative tori, som er de universale $C^\ast$-algebraene generert av slike operatorer. Ikke-kommutative tori dukker blant annet opp som dynamiske systemer i form av rotasjonsalgebraer, i gruppeteori som (komplette) vridde gruppealgebraer og til og med i teoretisk fysikk, hvor de dukker opp som en interessant arena for Yang-Mills-teori i ikke-kommutative rom. Vi utvikler verktøy fra ideer i algebra og topologi, slik som Hilbert $C^\ast$-moduler, som tar oss mot en operatoralgebraisk formulering av Morita-ekvivalens, og vi generaliserer topologisk $K$-teori til det ikke-kommutative tilfellet, hvilket gir sterke resultater, slik som klassifikasjonsresultatet for AF-algebraer. Høyere $K$-grupper og beregningsverktøy blir introdusert, slik som Bott-periodisitet, eksakte følger med seks ledd og Pimsner-Voiculescu-følgen for kryssede produkter. Vi forsøker å følge arbeidene til Rieffel og Pimsner-Voiculescu for å klassifisere isomorfi- og Morita-ekvivalensklasser av ikke-kommutative tori. Målet med oppgaven er å gi et overblikk over noe av den vakre teorien og de nyttige teknikkene som oppstår når forskjellige felter i matematikken samarbeider. Dermed vil fokuset ligge på å utvikle teorien.