Tittel: Wedderburns teorem

Veileder: Steffen Oppermann

Sammendrag: Teorem: Enhver endelig divisjonsring er kommutativ.

I 1905 beviste Joseph Wedderburn dette resultatet, som nå kalles Wedderburns teorem. Leonard Eugene Dickson kom med et alternativt bevis kort tid etter Wedderburn selv [7]. Matematikkhistorikeren Karen Parshall mente at Dickson burde hatt æren for teoremet ettersom det er en feil i Wedderburns orginale bevis [2]. Theodore Kaczynski, bedre kjent som terroristen ”unabomber” enn som matematiker, var den første som beviste teoremet kun ved bruk at gruppeteori. Noe av det som gjør Wedderburns teorem spennende er at det kan virke opplagt samtidig som at ingen av bevisene er trivielle. Det beviset som presenteres her er basert på det som finnes i boken «Introduction to Noncommutative Algebra» av Matej Brešar [1]. I beviset vil algebraer, og da spesielt divisjonsalgebraer være sentralt. Derfor starter vi med å repetere noen grunnleggende konsepter og resultater som leder opp til divisjonsalgebraer og deres egenskaper. Videre ser vi på multiplikasjonsalgebraer som trengs i beviset for Teorem 6.3 om maksimale underkropper. Dette er det viktigste resultatet for beviset av Wedderburns teorem:

Teorem: La $D$ være en endelig dimensjonal sentral divisjon F-algebra. Hvis K er en maksimal underkropp av $D$ så er $\dim_F (D) = \dim_F (K)^2$.